ترسیم فنی و نقشه کشی ـ رسم فنی ـ وضعیت نقطه و خط، وضعیت خط و صفح

وضعیت نقطه و خط، وضعیت خط و صفحه نسبت به یکدیگر و صفحات عمود بر هم

وضعیت نقطه و خط

نقطه یا واقع بر خط یا از خط خارج است. اگر حداقل در دو تصویر، تصویر نقطه بر تصویر خط واقع باشد، آن نقطه بر آن خط واقع است و در غیر این صورت نقطه بر خط واقع نیست. نکته 1 : اگر نقطه بر خط واقع باشد، تصویرش در هر سه تصویر، بر تصاویر آن خط واقع است. نکته 2: اگر نقطه بر خط واقع نباشد، حداقل در دو تصویر از سه تصویر، تصویر نقطه بر تصویر خط واقع نیست .

وضعیت خط و صفحه نسبت به یکدیگر

به طور کلی خط و صفحه نسبت به هم دو وضعیت دارند. الف) خط با صفحه موازی است. ب) خط با صفحه متقاطع است.

وضعیت دو صفحه نسبت به هم :

اگر زاویه بین دو صفحه قائمه باشد، آن دو صفحه بر هم عمودند .

فرجه :

به مجموعه ای از نقاط که بین دو نیم صفحه با مرز مشترک محدود شده باشند فرجه می گویند. مثل فرجه ای که در تصویر زیر بین دو صفحه p,Q قرار گرفته است.

نکته 1 :

مرز مشترک دو صفحه را یال فرجه (AB)، هر نیم صفحه را وجه فرجه (P1,P2) و زاویه بین دو نیم صفحه را اندازه فرجه (LT1OT2) می نامند.

کنج :

چند زاویه با رأس مشترک به طوری که هیچ دو زاویه ای در یک صفحه واقع نباشد و هر ضلع زاویه تنها با یک ضلع زاویه مشترک باشد، یک کنج است. رأس مشترک زاویه ها را ، رأس کنج، صفحه بین هر دو ضلع زاویه را وجه کنج، ضلع مشترک هر دو زاویه را یال کنج و زاویه بین هر دو وجه مجاور را یک فرجه کنج می نامند.

نکته 1 : اگر زاویه های یک کنج با هم برابر و فرجه های آن نیز با هم برابر باشند، آن کنج منتظم است . نکته 2 : اگر هر یک از سه زاویه یک کنج سه وجهی قائمه باشند، آن کنج را کنج سه قائمه می نامند.

ترسیم فنی و نقشه کشی ـ هندسه ـ ترسیمات هندسی

فصل پنجم : ترسیمات هندسی

رسم نیمساز زاویه

در شکل زاویه xoy مفروض است. به مرکز O رأس زاویه و به شعاع دلخواه R قوسی رسم می کنیم تا دو ضلع Ox , Oy از زاویه را در نقطه A,B قطع کند. سپس به مراکز A,B و به شعاع R و یا شعاع دیگری دو قوس رسم می کنیم، تا یکدیگر را در نقطه t قطع کنند. خط ot نیمساز مطلوب است.

رسم عمود منصف یک پاره خط :

پاره خط AB مفروض است. به مراکز نقاط A,B و به شعاع دلخواه (R > AB⁄ 2) دو قوس رسم می کنیم تا یکدیگر را در نقاط M1 , M قطع کنند. خط MM1 عمود منصف مطلوب است.

رسم مثلث با معلوم بودن سه ضلع آن :

سه ضلع یک مثلث معلوم است. برای مثال در شکل اندازه های AB,AC,BC به ترتیب، 4و5 و 5/4 سانتی متر است. ضلع AB‌را رسم می کنیم، سپس به مرکز A و به شعاع AC یک قوس و به مرکز B و به شعاع BC قوس دیگری رسم می کنیم تا یکدیگر را در نقطه C‌قطع کنند. مثلث ABC مثلث مطلوب است.

تقسیم پاره خط به یک نسبت مشخص (قضیه تالس)

می خواهیم نقطه C را روی پاره خط AB طوری در نظر بگیریم که نسبت AC به CB مقدار مشخصی باشد. برای مثال [(A⁄C)=(15⁄25)] باشد برای این کار خط دلخواه AD را به طول چهل واحد (15+25=40) رسم می کنیم و نقطه C' را که فاصله آن تا A برابر پانزده واحد باشد، در روی خط AD در نظر می گیریم. از نقطه D به B وصل کرده سپس از نقطه C' خطی به موازات خط DB رسم می کنیم تا خط AB را در نقطه C قطع کند. نقطه C‌نقطه مطلوب است. نکته 1 : به کمک پرگار می توان یک دایره را به 3 یا 6 قسمت تقسیم کرد. نکته 2 : با استفاده از گونیای 60-30 می توان دایره را به 3 یا 6 و یا 12 قسمت تقسیم کرد و با گونیای 45 درجه می توان دایره را به 8 قسمت تقسیم کرد.

تعریف بیضی :

بیضی مکان هندسی نقاطی از یک صفحه است که مجموع فاصله های هر یک از آن نقاط از دو نقطه ثابت آن صفحه مقدار ثابتی باشد. دو نقطه ثابت F1,F2 را کانون بیضی می نامند و عدد ثابت را 2 در نظر می گیرند. در شکل یک بیضی با دو کانون F1, F2 رسم شده است. در این بیضی MF1+MF2=2 است. 'AA را که برابر 2 است، قطر بزرگ (طول ) و 'BB را که عمودمنصف 'AA است و برابر 2b در نظر می گیرند، قطر کوچک ( 1 قصر) و نقطه o را مرکز بیضی و همچنین دایره به قطر 'AA را دایره اصلی و دایره به قطر 'BB را دایره فرعی بیضی می نامند.

مساحت بیضی :

مساحت بیضی با قطر بزرگ 2a و قطر کوچک 2b است با : S = πab

ترسیم فنی و نقشه کشی ـ هندسه ـ تقارن

فصل چهارم : تقارن

تقارن مرکزی : اگر ازنقطه M به نقطه O وصل می کنیم و به اندازه خودش (MO) امتداد دهیم تا نقطه M1 به دست آید، در این صورت نقطه M1 را قرینه مرکزی نقطه M ‌ نسبت به مرکز تقارن O می نامیم. بنابراین نقطه M هم، قرینه مرکزی نقطه M1 نسبت به مرکز تقارن O است این تقارن را تقارن مرکزی می نامند. نکته 1 : قرینه مرکزی هر پاره خط پاره خطی است مساوی و موازی با آن پاره خط

نکته 2 : قرینه مرکزی هر شکل هندسی، با خود آن شکل هندسی برابر است.

مرکز تقارن یک شکل هندسی :

اگر قرینه هر نقطه از یک شکل هندسی به نقطه O در صفحه شکل، نقطه ای از خود شکل باشد، نقطه O را مرکز تقارن آن شکل هندسی می نامند.

تقارن محوری :

خط d و نقطه M از یک صفحه در شکل مفروض است. اگر از نقطه M‌عمود MH را بر خط d رسم کنیم و به اندازه خودش (MH=M1H) امتداد دهیم تا نقطه M1 بدست آید، نقطه M1 را قرینه محوری نقطه M نسبت به محور d می نامند. این تقارن را تقارن محوری و خط d را محور تقارن می نامند. نکته 1 : ‌قرینه محوری هر پاره خط، با آن پاره خط برابر است.

نکته 2 : هر خط غیرموازی با محور تقارن، و قرینه آن، با آن محور همرسند و با محور تقارن زاویه های مساوی ایجاد می کند.

نکته 3 : هر خط موازی با محور تقارن، و قرینه آن با محور موازی هستند و فاصله آن دو ، تا محور ، برابر است.

نکته 4 : قرینه محوری هر شکل هندسی با خود شکل برابر است.

محور تقارن یک شکل هندسی :

اگر خطی یک شکل هندسی را طوری به دو نیم تقسیم کند که هر نیمه شکل، قرینه محوری نیمه دیگر آن شکل نسبت به آن خط باشد، آن خط را محور تقارن آن شکل می نامند. در شکل AM میانه وارد بر قاعده مثلث متساوی الساقین ABC که نیمساز، ارتفاع و عمود منصف هم هست، محور تقارن آن مثلث است. زیرا دو نیمه آن مثلث نسبت به AM قرینه محوری هستند. نکته 1 : هر شکل هندسی که حداقل دارای دو محور تقارن عمود بر هم باشد، محل برخورد آن دو محور ، مرکز تقارن آن شکل هندسی است.

ترسیم فنی و نقشه کشی ـ هندسه ـ دایره

فصل سوم : دایره

تعریف دایره : مجموع تمام نقاط یک صفحه را که فاصله آنها از نقطه ثابتی مانند o در آن صفحه برابر با عدد ثابت R است دایره می نامند. وتر و قطر دایره : هر پاره خطی که دو سر آن واقع بر یک دایره باشد، وتر نامیده می شود. هر وتری که از مرکز دایره بگذرد، قطر آن دایره نامیده می شود. بنابراین اندازه هر دایره دو برابر اندازه شعاع آن است. نکته 1 : قطر دایره بزرگترین وتر است.

قوس (کمان)

هر وتر، دایره را به دو قسمت تقسیم می کند که هر قسمت را یک قوس می نامند، قطر، دایره را به دو قوس مساوی تقسیم می کند که هر قوس یک نیم دایره نامیده می شود. نکته 1 : ‌در هر صفحه از دو نقطه متمایز A,B بی نهایت دایره می گذرد.مکان هندسی مراکز این دایره ها، عمود منصف پاره خط AB است. زاویه مرکزی : اگر رأس زاویه بر مرکز دایره واقع باشد، آن زاویه را مرکزی می نامند.

اندازه قوس : اندازه هر قوس با اندازه زاویه مرکزی مقابل به آن قوس برابر است.

نکته 1 : اگر طول یک قوس برابر شعاع آن دایره باشد اندازه زاویه مرکزی مقابل به آن و همچنین اندازه آن قوس ، یک رادیان است. نکته2 : در هر دایره وترهای مساوی، از مرکز به یک فاصله اند.

نکته 3 : در هر دایره طول وترهای با فاصله مساوی از مرکز برابرند. نکته 2: در هر دایره قطر عمود بر وتر، وتر، و کمان های آن را نصف می کند. نکته 3 : در هر دایره قطری که از وسط کمان وتر بگذرد، بر آن وتر عمود است. نکته 4 : از نقطه M واقع در برون دایره c، دو مماس 'MH , MH را می توان بر دایره رسم کرد. 'MH = MH ، خط Mo نیسماز زاویه 'HMH و همچنین خط Mo‌عمود منصف پاره خط 'HH است.

مماس مشترک دو دایره

هر خطی را که بر دو دایره مماس باشد، خط مماس مشترک دو دایره می نامند. اگر دو دایره متخارج باشند دو مماس مشترک خارجی مانند d1.d2 و دو مماس مشترک داخلی مانند d4,d3 بر دو دایره می توان رسم کرد. اگر دو دایره مماس خارجی باشند، دو مماس مشترک خارجی و یک مماس مشترک داخلی، بر دو دایره می توان رسم کرد. دراین حالت مماس مشترک داخلی بر خط 'oo عمود است. اگر دو دایره متقاطع باشند، مطابق شکل دو مماس مشترک خارجی بر دو دایره می توان رسم کرد. اگر دو دایره مماس داخلی باشند، مطابق شکل یک مماس خارجی بر دو دایره می توان رسم کرد.

زاویه محاطی

زاویه محاطی زاویه ای است که رأس آن واقع بر دایره و اضلاع آن دو وتر از آن دایره باشد.

زاویه ظلی

زاویه ظلی زاویه ای است که رأس آن واقع بر دایره و یک ضلع آن مماس بر دایره (نقطه تماس رأس زاویه است) و ضلع دیگر، وتر آن دایره است. نکته 1 : اندازه هر زاویه محاطی و هر زاویه ظلی برابر است با نصف اندازه کمان مقابل به آن

مساحت دایره : اگر شعاع دایره را R در نظر بگیریم، مساحت دایره (s) برابر است با : S = π R2 (عدد پی را 14/3 در نظر می گیرند) محیط دایره : اگر قطر دایره را D در نظر بگیریم، محیط آن دایره (p) برابر است با : P = 2πR یا  P = πD

قطاع دایره و مساحت آن :

سطحی از دایره که بین دو شعاع از آن دایره قرار دارد را قطاع دایره می نامند.مساحت قطاع دایره برابر است با [(R2α) ⁄2)] که در آن α زاویه بین دو شعاع بر حسب رادیان است.

اندازه طول یک قوس :

اندازه طول قوس هر دایره برابر است با L = R.α که در آن R شعاع دایره و اندازه زاویه مرکزی مقابل به آن قوس بر حسب رادیان است. در شکل اندازه زاویه مرکزی AOB برابر(2π ⁄ 3) رادیان (120 درجه) و شعاع دایره برابر 2 سانتی متر است. بنابراین طول قوس AB برابر است با : L =2 × (2π ⁄ 3) = 4.18 Cm

ترسیم فنی و نقشه کشی ـ هندسه ـ چند ضلعیها

فصل دوم: چند ضلعیها

تعریف چند ضلعی : هر خط شکسته بسته را چند ضلعی می نامند . مثلث یک چند ضلعی (سه ضلعی) است. اگر یکی از زوایای داخلی چند ضلعی بزرگتراز 180 درجه باشد،چند ضلعی را مقعر و در غیر این صورت چند ضلعی را محدب می نامند.

نکته 1 : مجموع اندازه های زوایای هر n ضلعی برابر با درجه است. برای مثال ، مجموع اندازه های زوایای یک هفت ضلعی برابر با درجه است. نکته 2 : تعداد قطرهای هر n ضلعی محدب برابر با ½ (n)(n-3) است. نکته 3 : در چند ضلعیهای منتظم با تعداداضلاع زوج، اضلاع مقابل بر هم ، با هم موازیند.

نکته 4 : در هر چند ضلعی منتظم با تعداد اضلاع فرد، عمودمنصف هر ضلع ، نیمساز زاویه مقابل به آن ضلع است. که این عمود منصف (یا نیمساز) محور تقارن آن چند ضلعی است.

متوازی الاضلاع

چهار ضلعی است که هر دو ضلع آن موازی باشند. در متوازی الاضلاع، فاصله هر دو ضلع مقابل به هم را ارتفاع می نامند.

ویژگیهای متوازی الاضلاع

الف) در هر متوازی الاضلاع، اضلاع مقابل با هم برابر هستند. ب)درهر متوازی الاضلاع زاویه های مقابل برابرند و هر دو زاویه مجاور یک ضلع مکمل یکدیگرند. همچنین مجموع دو زاویه مجاور برابر 180 درجه است. ج) در هر متوازی الاضلاع قطرها منصف یکدیگرند. د) در هر متوازی الاضلاع نقطه تقاطع دو قطر مرکز تقارن آن شکل است. ه‍) مساحت متوازی الاضلاع برابر با حاصلضرب قاعده در ارتفاع وارد بر آن است. ز) در هر متوازی الاضلاع، نیمسازهای داخلی دو به دو بر هم عمودند.

لوزی

لوزی متوازی الاضلاعی است که چهار ضلع آن با هم برابر باشند. بنابراین لوزی کلیه ویژگیهای متوازی الاضلاع را دارد. مساحت و محیط لوزی : مساحت لوزی برابر نصف حاصلضرب اندازه های دو قطر است. نکته 1 : از هر لوزی یک دایره محاطی می گذرد.

کایت

کایت یا شبه لوزی ، چهار ضلعی محدبی است که دارای دو جفت اضلاع مجاور مساوی با دو اندازه مختلف باشد. در واقع کایت چهار ضلعی محدبی است که دارای دو قطر عمود بر هم باشد و فقط یکی از قطرها منصف قطر دیگر باشد. قطری که منصف قطر دیگر است، محور تقارن کایت و همچنین نیمساز دو زاویه مقابل است. مساحت کایت مانند مساحت لوزی محاسبه می شود.

مستطیل

مستطیل متوازی الاضلاعی است که یک زاویه آن قائمه باشد. بنابراین مستطیل کلیه ویژگیهای متوازی الاضلاع را داراست. خطی که وسط دو ضلع مقابل را به هم وصل کند محور تقارن مستطیل است. بنابراین مستطیل دو محور تقارن دارد. نکته 1 : مساحت مستطیل برابر حاصلضرب طول در عرض آن است. نکته 2 : بر مستطیل یک دایره محیطی می گذرد.

مربع

مربع مستطیلی است که چهار ضلع آن با هم مساوی باشد و یا می توان گفت ، مربع لوزی است که یک زاویه آن قائمه باشد. بنابراین مربع کلیه ویژگیهای متوازی الاضلاع، مستطیل و لوزی را دارد.

نکته 1 : در هر مربع قطرها بر هم عمود و با هم برابر و هر کدام محور تقارن شکل هستند. نکته 2 : مربع چهار محور تقارن (به تعداد اضلاع) دارد. مربع یک چهار ضلعی منتظم است و کلید ویژگیهای چند ضلعی منتظم را داراست. مساحت و محیط مربع : مساحت مربع برابر مجذوب یک ضلع است.

ذوزنقه

هر چهار ضلعی که فقط دو ضلع آن با هم موازی باشند، ذوزنقه نامیده می شود. دو ضلع موازی را قاعده ها، و دو ضلع غیرموازی را ساقها می نامند. اگر دو ساق ذوزنقه با هم مساوی باشند ذوزنقه را متساوی الساقین می نامند، اگر یکی از ساقها بر دو قاعده عمود باشد ذوزنقه را قائم الزاویه می نامند. نکته 1 : در هر ذوزنقه دو زاویه مجاوز بر هر ساق مکمل یکدیگرند. نکته 2 : در هر ذوزنقه متساوی الساقین دو قطر با هم و همچنین دو زاویه مجاور به هر قاعده با هم برابر هستند. نکته 3 : پاره خطی که دو سر آن وسط های دو ساق ذوزنقه باشد، موازی دو قاعده آن ذوزنقه و اندازه آن برابر نصف مجموع اندازه های دو قاعده ذوزنقه است. مساحت ذوزنقه : مساحت ذوزنقه با نصف حاصلضرب مجموع دو قاعده درارتفاع آن برابر است. چهار ضلعی های محیطی چهار ضلعی محیطی چهار ضلعی است که اضلاع آن بر یک دایره مماس باشند. نکته 1 : درهر چهار ضلعی محیطی مجموع دو ضلع مقابل با مجموع دو ضلع مقابل دیگر برابر است. چهارضلعی های محاطی چهار ضلعی محاطی چهار ضلعی است که رأسهای آن بر یک دایره واقع باشد. نکته 1 : در هر چهار ضلعی محاطی مجموع دو زاویه مقابل 180 درجه است.

ترسیم فنی و نقشه کشی ـ هندسه ـ مثلث

بخش اول : هندسه مثلث

تعریف مثلث : اگر 3 خط دو به دو یکدیگر را قطع کنند، شکل ایجاد شده را مثلث می نامند.

نکته 1 : مجموع اندازه های زوایای داخلی هر مثلث 180 درجه است. نکته 2 : در هر مثلث اندازه زاویه خارجی با مجموع اندازه های دو زاویه داخلی غیرمجاور آن برابر است . نکته 3 : خطی که موازی یک ضلع مثلث باشد و دو ضلع دیگر آن مثلث را قطع کند، آن دو ضلع را به یک نسبت تقسیم می کند. نکته 4 : در هر مثلث هر ضلع از مجموع دو ضلع دیگر کوچکتر و از تفاضل آنها بزرگتر است.

قضایای تساوی مثلث

1 – اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلثی دیگر، برابر باشند، آن دو مثلث با هم برابرند. 2 – اگر دو ضلع و زاویه بین آنها از مثلثی با دو ضلع و زاویه بین آنها از مثلثی دیگر برابر باشند. آن دو مثلث با هم برابرند. 3 – اگر دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی با دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی دیگر برابر باشند، آن دو مثلث با هم برابرند. عمود منصف های اضلاع مثلث عمودمنصف هر ضلع مثلث ، خطی است که از وسط آن ضلع می گذرد و بر آن عمود است.

نکته : سه عمود منصف اضلاع مثلث، همرسند

ارتفاع اضلاع مثلث

ارتفاع هر ضلع مثلث پاره خطی است عمود بر آن ضلع، که یک سر آن پای عمود و سر دیگر آن رأس متقابل به آن ضلع است. نکته : سه ارتفاع هر مثلث همرسند.

مساحت مثلث

مساحت هر مثلث برابر با حاصلضرب یک ضلع در نصف ارتفاع وارد بر آن ضلع .

میانه های مثلث

میانه مثلث پاره خطی است که یک سر آن رأس و سر دیگر آن وسط ضلع مقابل به آن رأس باشد.

نکته 1 : سه میانه هر مثلث همرسند. نقطه همرس، هر میانه را به نسبت 1و2 تقسیم می کند. نکته 2 : هر میانه مثلث، مساحت آن مثلث را به دو قسمت معادل تقسیم می کند. نکته 3 : اگر نقطه همرس میانه ها را به رئوس وصل کنیم، مساحت مثلث به سه مثلث معادل تقسیم می شود. s1 = s2 = s3

مثلث قائم الزاویه

اگر دو ضلع مثلث بر هم عمود باشند، مثلث را قائم الزاویه می نامند. نکته 1 : در دو مثلث قائم الزاویه ، اگر وتر و یک زاویه حاده از یکی با وتر و یک زاویه حاده از دیگری برابر باشند، آن دو مثلث با هم برابرند. نکته 2 : اگر دو مثلث قائم الزاویه، اگر یک ضلع زاویه قائمه وزاویه مقابل به آن از یکی با یک ضلع زاویه قائمه و زاویه مقابل به آن از دیگری برابر باشند آن دو مثلث با هم برابرند. نکته 3 : در هر مثلث قائم الزاویه میانه وارد بر وتر، نصف وتر است.

نکته 4 : در مثلث قائم الزاویه اندازه ضلع مقابل به زاویه 30 درجه ( یکی از زاویه های حاده 30 درجه باشد) نصف اندازه وتر آن مثلث است. نکته5 : اگر دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلثی دیگر برابر باشند، آن دو مثلث متشابهند.